Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值，并求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-ax在区间[-2，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=1，y=0，求出f（0），x不变，令y=0，求出f（x）；
（2）化简g（x），讨论g（x）是单调增函数，则区间在对称轴的右边；若是单调减函数，则区间在对称轴的左边，列出不等式，解出，最后求并集．

解答： 解：（1）令x=1，y=0，则由题意得，f（1）-f（0）=1×2，
∴f（0）=f（1）-2=-2；
令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1），
∴f（x）=x²+x-2．
（2）g（x）=f（x）-ax=x²+（1-a）x-2，
由于g（x）在区间[-2，2]上单调函数，
若是单调增函数，则区间在对称轴的右边，即-

1-a

2

≤-2，解得a≤-3，
若是单调减函数，则区间在对称轴的左边，即即-

1-a

2

≥2，解得a≥5．
故实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[5，+∞）．

点评：本题考查抽象函数值和函数解析式的求法，考查函数的单调性及运用，属于基础题．