Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1）且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设函数F（x）=f（x）-mx，若F（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，记此函数的最小值为h（k），求h（k）的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）依题意得c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0，解方程组求出a，b，c值，可得f（x）的表达式；
（Ⅱ）函数F（x）=x²+（2-m）x+1图象的对称轴为直线x=

m-2

2

，图象开口向上，若F（x）在区间[-2，2]上是单调函数，则区间在对称轴的一侧，进而得到实数m的取值范围；
（Ⅲ）g（x）=x²+（2-k）x+1图象的对称轴为直线x=

k-2

2

，图象开口向上，不同情况下g（x）在区间[-2，2]上单调性，进而可得函数的最小值为h（k）的解析式．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x²+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-m）x+1图象的对称轴为直线x=

m-2

2

，图象开口向上，
当

m-2

2

≤-2或

m-2

2

≥2，即m≤-2或m≥6时，F（x）在[-2，2]上单调，
故实数m的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）；
（Ⅲ）g（x）=x²+（2-k）x+1图象的对称轴为直线x=

k-2

2

，图象开口向上
当

k-2

2

≤-2，即k≤-2时，F（x）在[-2，2]上单调递增，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（-2）=2k+1
当-2＜

k-2

2

≤2即-2＜k≤6时，F（x）在[-2，

k-2

2

]上递减，在[

k-2

2

，2]上递增
此时函数F（x）的最小值g(k)=F(

k-2

2

)=-

k_-4k

4

；
当

k-2

2

＞2即k＞6时，F（x）在[-2，2]上单调递减，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；
综上，函数F（x）的最小值g(k)=

2k+1，k≤-2 - k2-4k 4 ，-2＜k≤6 9-2k，k＞6

点评：本题考查的知识点是二次函数解析式的求法，二次函数的单调性，二次函数在定区间上的最值问题，难度中档．