Question

在数列{a_n}中，a₁=1，2a_n+1=（1+

1

n

）²a_n
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n+1-

1

2

a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由条件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）由条件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

•

an

n2

，
又n=1时，

an

n2

=1，
故数列{

an

n2

}构成首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
从而

an

n2

=

1

2n-1

，即an=

n2

2n-1

．
（2）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

，
得Sn=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

，
⇒

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

，
两式相减得：

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

，
∴Sn=5-

2n+5

2n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、和等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力和计算能力，属于难题．