Question

（1）设实数t＞0，求证：（1+

2

t

）ln（1+t）＞2
（2）从编号1到100的100张卡片中，每次随机地抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽20次，设抽得的20个号码各不相同的概率为p，求证：ρ＜

1

e2

．

Answer 1

考点：不等式的证明,导数在最大值、最小值问题中的应用,概率与函数的综合

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）原问题等价于证ln(1+t)＞

2t

2+t

=2-

4

2+t

，构造函数f(x)=ln(1+x)+

4

x+2

-2(x＞0)，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．
（2）由已知条件得p=

100×99×98×…×81

10020

，即证明99×98×…×81＜（90）¹⁹，证明19ln

10

9

＞2，即(

10

9

)19＞e2而这个结论由（1）所得结论可得．

解答： 证明：（1）已知实数t＞0，原问题等价于证ln(1+t)＞

2t

2+t

=2-

4

2+t

构造函数f(x)=ln(1+x)+

4

x+2

-2(x＞0)，
f′(x)=

1

1+x

-

4

(x+2)2

=

x2

(1+x)(x+2)2

≥0，
已知x＞0，且f（0）=0，
故f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
于是f（x）＞0（x＞0），即原命题成立；5-6分
（2）由已知条件得p=

100×99×98×…×81

10020

，
注意到99×81＜90²，98×82＜90²，…，91×89＜90²，
于是p＜

902×902×902×…×902×90

1038

=(

9

10

)19
在（1）的结论中令t=

1

9

，得19ln

10

9

＞2，即(

10

9

)19＞e2
即p＜(

9

10

)19＜

1

e2

，即p＜

1

e2

．

点评：本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．