Question

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）当a=-

1

4

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（3）求证：（1+

2 2×3

）（1+

4 3×5

）（1+

8 5×9

）…[1+

2n (2n-1+1)(2n+1)

]＜e 

13

4

（其中n∈N^*，
e是自然对数的底数）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-

1

4

时，f′(x)=-

1

2

x+

1

x+1

-

(x-1)(x+2)

2(x+1)

，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）由已知得ax²-x+ln（1+x）≤0对x∈[0，+∞）成立，令h（x）=ax²-x+ln（1+x），则h′(x)=2ax-1+

1

1+x

，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．
（3）a=0时，ln（1+x）≤x，x∈（0，+∞），令x=

2n (2n-1+1)(2n+1)

，利用放缩法能证明（1+

2 2×3

）（1+

4 3×5

）（1+

8 5×9

）…[1+

2n (2n-1+1)(2n+1)

]＜e 

13

4

．

解答： （1）解：当a=-

1

4

时，f（x）=-

1

4

x2+ln（x+1），x＞-1，
f′(x)=-

1

2

x+

1

x+1

=-

1

2

x+

1

x+1

=-

(x-1)(x+2)

2(x+1)

，
当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，+∞）．
（2）解：f（x）≤x，即ax²-x+ln（1+x）≤0，
对x∈[0，+∞）成立，令h（x）=ax²-x+ln（1+x），
则h′(x)=2ax-1+

1

1+x

=

x(2ax+2a-1)

1+x

，
当a≤0时，h′（x）＜0，得x=

1-2a

2a

，
若0＜a＜

1

2

时，x=

1-2a

2a

＞0，
则h（x）在（0，

1-2a

2a

）为减函数，在（

1-2a

2a

，+∞）为增函数，h（a）＞0，舍．
若a≥

1

2

时，x=

1-2a

2a

≤0在[0，+∞）为增函数，舍．
综上所述，a≤0．
（3）由（2）得a=0时，ln（1+x）≤x，x∈（0，+∞），
令x=

2n (2n-1+1)(2n+1)

，
则ln（1+

2n (2n-1+1)(2n+1)

）≤

2n (2n-1+1)(2n+1)

＜

1 2n-1+1

＜(

1

2

)

n-1

2

，
当n≥2时，

n

k=1

ln(1+

2k (2k-1+1)(2k+1)

)＜

2

2

+

n

k=2

(

1

2

)

k-1

2

=

2

2

+

2 2 [1-( 2 2 )n-1]

1- 2 2

＜

3 2

2

+1＜

13

4

，
∴（1+

2 2×3

）（1+

4 3×5

）（1+

8 5×9

）…[1+

2n (2n-1+1)(2n+1)

]＜e 

13

4

．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．