Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c的图象为曲线E．
（1）若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系；
（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值；
（3）在满足（2）的条件下，设x₁，x₂∈[-2，6]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤81恒成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）切线与x轴平行等价于函数在该点处取到极值，即函数存在导数值为零的点．利用二次方程有根的条件进行求解；
（2）函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，可以得出函数在x=-1和x=3处导数值为零，利用韦达定理确定出a，b的值；
（3）将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求出函数的最值达到求解该题的目的．

解答： （1）解：f'（x）=3x²-2ax+b，设切点为P（x₀，y₀），
则曲线y=f（x）在点P的切线的斜率k=f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b
由题意知f'（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有解，
∴△=4a²-12b≥0，即a²≥3b．
（2）解：若函数f（x）可以在x=-1和x=3处取得极值，
则f'（x）=3x²-2ax+b有两个解x=-1和x=3，且满足a²≥3b，
利用韦达定理得a=3，b=-9．
（3）由（2）得f（x）=x³-3x²-9x+c，
∴f′（x）=3x²-6x-9，令f′（x）=0得出x=-1或3，
当x∈[-2，-1）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[-2，-1）上单调递增，
当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（-1，3）上单调递减，
当x∈（3，6），f′（x）＞0，f（x）在x∈（3，6）上单调递增，
因此，f（x）在x=-1时有极大值5+c，x=3时有极小值-27+c，且f（6）=54+c，f（-2）=-2+c．
∴函数f（x）=x³-3x²-9x+c（x∈[-2，6]）的最大值为54+c，最小值为-27+c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|54+c+27-c|=81．

点评：本题考查函数的极值与导数之间的关系，考查函数有极值的条件．要准确求解函数的导数，考查分离变量思想解决函数恒成立问题，考查学生的转化与化归思想．