Question

已知函数f（x）=x²lnx-a（x²-1），a∈R，
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）a=0时，f（x）=x²lnx，f′（x）=x（2lnx+1），由此利用导数性质能求出f（x）有最小值-

1

2e

．
（2）由已知x≥1时，f（x）_min＞0，f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）a=0时，f（x）=x²lnx，f′（x）=x（2lnx+1），…（2分）
x∈（0，e-

1

2

）时，f（x）单调减，x∈（e -

1

2

，+∞）时，f（x）单调增，…（4分）
所以当x=e-

1

2

时，f（x）有最小值-

1

2e

．…（5分）
（2）由已知，即x≥1时，f（x）_min＞0，…（6分）
f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，…（8分）
当1-2a≥0，即a≤

1

2

时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）单调增
∴f（x）_min=f（1）=0，即a≤

1

2

时满足f（x）≥0恒成立．…（10分）
当1-2a＜0，即a＞

1

2

时，由f′（x）=0，得x=ea-

1

2

＞1，
∴x∈(1，ea-

1

2

)时，f（x）单调减，即x∈（1，e a-

1

2

）时，
∴f（x）＜f（1）=0与题设矛盾，
即a＞

1

2

时，不能满足f（x）≥0恒成立．…（12分）
综上，所求a的取值范围是a≤

1

2

．…（13分）

点评：本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用．