Question

已知log 

1

2

x≥-2且4×2^2x-9×2^x+2＞0，
（1）求x的取值的集合A；
（2）x∈A时，求函数f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

的值域．
（3）g（t）=-t²+2at-a+

17

4

，在（1），（2）问的条件下，若任取x₁，x₂∈A，总存在t₀∈（0，3），
使|f（x₁）-f（x₂）|≤g（t₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）解对数不等式和指数不等式，并求出两个不等式解集的交集可得集合A；
（2）f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

=（log₂x-1）（log₂x-2），令t=log₂x，结合对数函数的图象和性质及二次当函数的图象和性质可得函数f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

的值域．
（3）由题意得，gmax≥|f(x1)-f(x2)|max=2-(-

1

4

)=

9

4

，即：t²-2at+a-2≤0有解，令h（t）=t²-2at+a-2，则h（t）_min≤0，分类讨论不同情况下a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）若log 

1

2

x≥-2，
则0＜x≤4，…①
若4×2^2x-9×2^x+2＞0，
则2^x＜

1

4

，或2^x＞2，
即x＜-2，或x＞1，…②
由①②得：A={x|1＜x≤4}-------------------------------（3分）
（2）f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

=（log₂x-1）（log₂x-2），
令t=log₂x，则t∈（0，2]，
此时y=f（x）=（t-1）（t-2）的图象是开口朝上，且以直线t=

3

2

为对称轴的抛物线，
故当t=

3

2

，即x=2

3

2

时，函数f（x）取最小值-

1

4

，
当t=0，即x=1时，函数最最大值2，
故函数f（x）=log₂

x

2

•log 

2

x

2

的值域为[-

1

4

，2)---------------------------------------------（6分）
（3）由题意得，gmax≥|f(x1)-f(x2)|max=2-(-

1

4

)=

9

4

，
即：-t2+2at-a+

17

4

≥

9

4

，t²-2at+a-2≤0有解，
令h（t）=t²-2at+a-2，
则h（t）_min≤0，而h（t）=t²-2at+a-2=（t-a）²-a²+a-2
①当a∈（0，3）时，h(t)min=-a2+a-2≤0，a≥2或a≤-1，此时：a∈[2，3）
②a≥3时，h(t)min=h(3)=9-6a+a+2=11-5a≤0，a≥

11

5

，但t∈（0，2），最小值取不到，故a＞

11

5

；此时：a≥3
③a≤0时，h（t）_min=h（0）=a+2≤0，a≤-2，但…t∈（0，2），最小值取不到，故a＜-2；此时：a＜-2
综上：a∈（-∞，-2）∪[2，+∞）-----------------------------------------（10分）

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质，解对数不等式，解指数不等式，对数的运算性质，集合的运算，存在性问题，是函数与集合的综合应用，综合性强，运算强度大，转化复杂，属于难题．