Question

等差数列{a_n}，{b_n}，{c_n}与{d_n}的前n项和分别记为S_n，T_n，P_n，Q_n.

Sn

Tn

=

5n+1

3n-1

，f(n)=

an

bn

；

cn

dn

=

5n-2

3n-2

，g(n)=

Pn

Qn

．则

f(n)

g(n)

的最小值=

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由等差数列的性质分别求出f（n）与g（n），作比后利用导数求最值．

解答： 解：∵等差数列{a_n}，{b_n}，{c_n}与{d_n}的前n项和分别记为S_n，T_n，P_n，Q_n．
且

Sn

Tn

=

5n+1

3n-1

，f(n)=

an

bn

；

cn

dn

=

5n-2

3n-2

，g(n)=

Pn

Qn

．
∴f(n)=

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

=

5(2n-1)+1

3(2n-1)-1

=

5n-2

3n-2

．
g(n)=

Pn

Qn

=

c n+1 2

d n+1 2

=

5• n+1 2 -2

3• n+1 2 -2

=

5n+1

3n-1

．
∴h（n）=

f(n)

g(n)

=

5n-2 3n-2

5n+1 3n-1

=

15n2-11n+2

15n2-7n-2

=1-

4n+1

15n2-7n-2

．
令t（n）=

4n+1

15n2-7n-2

，
∵t′(n)=

-60n2-30n-1

(15n2-7n-2)2

＜0，
∴当n=1时，t(n)max=

5

7

．
∴

f(n)

g(n)

的最小值为1-

5

7

=

2

7

．
故答案为：

2

7

．

点评：本题考查了等差数列的性质，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．