Question

已知m∈R，函数f（x）=m（x²-1）+x-a．
（1）f（x）恒有零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，f（x）在（2，+∞）上单调，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）分类讨论，利用f（x）恒有零点，即可求实数a的取值范围；
（2）分类讨论，结合f（x）在（2，+∞）上单调，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）当m=0时，f（x）=x-a是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R…..（2分）
当m≠0时，由题意知，方程mx²+x-（m+a）=0恒有两实数解，
其充要条件是△=1+4m（m+a）=4m²+4am+1≥0…..（4分）
又只需△′=（4a）²-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]…..（6分）
∴当m=0时，a∈R；当m≠0时，a∈[-1，1]…（7分）
（2）当m=0时，f（x）=x是一次函数，满足在x∈（2，+∞）上是单调函数．…（9分）
当m≠0时，要使f（x）在x∈（2，+∞）上是单调函数，只须

m＞0 - 1 2m ≤2

或

m＜0 - 1 2m ≤2

，
解得m≥0或m≤-

1

4

…（13分）
综上得，满足条件的m的取值范围是{m|m≥0或m≤-

1

4

}…（14分）

点评：本题考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．