Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=2n ， n∈N* ， 若 +19≤3n对任意n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞,﹣8]
【解析】解：∵a1=1，且an+1﹣an=2n，n∈N*，即n≥2时，an﹣an﹣1=2n﹣1．

∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1= =2n﹣1．

∵ +19≤3n，化为：λ≤ =f（n）．

+19≤3n对任意n∈N*都成立，λ≤f（n）min．

由f（n）≤0，可得n≤ ，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．

f（n+1）﹣f（n）= ﹣ = ≤0，

解得n≤ ．

∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），

可得f（n）min=f（5）=﹣8．

则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]．

所以答案是：（﹣∞，﹣8]．