Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a²-2a+2，a_n+1=a_n+2（n-2）+1，n∈N^*，当且仅当n=3时a最小，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-1，3）
• B、（

  5

  2

  ，3）
• C、（2，4）
• D、（

  5

  2

  ，

  7

  2

  ）

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：在数列递推式中分别取n=1，2，…，累加后得到a_n=n²-2an+a²+1．求出该数列函数的对称轴，结合已知列不等式求解实数a的取值范围．

解答：解：由a_n+1=a_n+2（n-2）+1，得：
a₂-a₁=2（1-a）+1，
a₃-a₂=2（2-a）+1，
a₄-a₃=2（3-a）+1，
…
a_n-a_n-1=2（n-1-a）+1．
累加得：a_n=a₁+2[1+2+3+…+（n-1）+（n-1）a]+n-1
=a₁+（n-1）n-2（n-1）a，
∵a₁=a²-2a+2，
∴f（n）=a_n=a²-2a+2+n²-n-2（n-1）a+n-1=n²-2an+a²+1．
该函数开口向上，对称轴方程为n=a．
∵n∈N^*
∴当

5

2

＜a＜

7

2

时，f（n）=a_n最小．
故选：D．

点评：本题考查了数列递推式，训练了利用累加法求数列的通项公式，考查了数列的函数特性，是中档题．