Question

（2013•静安区一模）已知数列{a_n}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3．
（1）当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列a₁、a₂、a₃；
（2）试求出数列{a_n}的任一项a_n与它的前一项a_n-1间的递推关系．是否存在满足条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₃=-2012？若存在，求出这样的无穷数列{a_n}的一个通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，n分别取1，2，3，代入计算，即可得到结论；
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，则Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N^*）．从而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13，两式相减，得2Sn=an+12-an+1，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}的任一项a_n与它的前一项a_n-1间的递推关系；利用a₁=1，a₂₀₁₃=-2012，所以无穷数列{a_n}的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为-2012，公比为-1的等比数列，从而可得数列的通项．

解答：解：（1）当n=1时，a12=a13，由a₁≠0得a₁=1．（1分）
当n=2时，(1+a2)2=1+a23，由a₂≠0得a₂=2或a₂=-1．
当n=3时，(1+a2+a3)2=1+a23+a33，若a₂=2得a₃=3或a₃=-2；若a₂=-1得a₃=1；（5分）
综上讨论，满足条件的数列有三个：1，2，3或1，2，-2或1，-1，1．（6分）
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，则Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N^*）．
从而(Sn+an+1)2=a13+a23+…+an3+an+13．（7分）
两式相减，结合a_n+1≠0，得2Sn=an+12-an+1．（8分）
当n=1时，由（1）知a₁=1；
当n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=(an+12-an+1)-(an2-an)，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
所以a_n+1=-a_n或a_n+1=a_n+1．（12分）
又a₁=1，a₂₀₁₃=-2012，所以无穷数列{a_n}的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013项开始组成首项为-2012，公比为-1的等比数列．
故an=

n(1≤n≤2012) 2012•(-1)n(n＞2012)

．（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的探究，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a_n}的任一项a_n与它的前一项a_n-1间的递推关系是关键．