Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式，并求出它在区间[-1，3]上的最大、最小值．

Answer 1

分析：由于f（0）=0，可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）．利用f（x+1）-f（x）=x+1，可得a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，
化为（2a-1）x+a+b-1=0．此式对于任意实数x恒成立，因此

2a-1=0 a+b-1=0

，解出即可．通过配方即可得出其单调性，进而得出最值．

解答：解：∵f（0）=0，∴可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）．
∵f（x+1）-f（x）=x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，
化为（2a-1）x+a+b-1=0．
此式对于任意实数x恒成立，因此

2a-1=0 a+b-1=0

，解得a=b=

1

2

．
∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．
∵f(x)=

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

．
∴函数f（x）在区间[-1，-

1

2

]上单调递减，在区间[-

1

2

，3]上单调递增．
∵f（-1）=0，f(-

1

2

)=-

1

8

，f（3）=6．
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的最大、最小值分别为6，-

1

8

．

点评：熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．