Question

已知函数f(x)=cosx+sin2

x

2

-

3

2

sinx．
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的最大值和最小值；
（2）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=0，b=

5

，c=

3

，求a的长度．

Answer 1

函数f(x)=cosx+sin2

x

2

-

3

2

sinx
=cosx+

1

2

（1-cosx）-

3

2

sinx
=

1

2

+

1

2

cosx-

3

2

sinx
=

1

2

+cos（x+

π

3

），
∵x∈[0，π]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
则函数f（x）的最大值为1，最小值为-

1

2

；
（2）∵f（B）=0，
∴

1

2

+cos（B+

π

3

）=0，即cos（B+

π

3

）=-

1

2

，
由B为三角形的内角，
得出B+

π

3

=

2π

3

，即B=

π

3

，又b=

5

，c=

3

，
根据余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即5=a²+3-

3

a，
解得：a=

3 + 11

2

或a=

3 - 11

2

（舍去），
则a的长度为

3 + 11

2

．