Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：3x²-y²=3的右支交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程3x²-y²=3后，由题意知

3-k2≠0 4k2+16(3-k2)＞0 2k 3-k2 ＞0 -4 3-k2 ＞0

，由此可知实数k的取值范围．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由题意：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0，由此入手可求出k的值．

解答： 解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程3x²-y²=3，
整理得（3-k²）x²-2kx-4=0．
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
设两个交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵（x₁，y₁），（x₂，y₂）都在双曲线C的右支，
x₁＞0，x₂＞0，
∴

3-k2≠0 4k2+16(3-k2)＞0 2k 3-k2 ＞0 -4 3-k2 ＞0

解得k的取值范围是-2＜k＜-

3

．
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．
则由FA⊥FB得：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0．
即（x₁-c）（x₂-c）+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
整理得（k²+1）x₁x₂+（k-c）（x₁+x₂）+c²+1=0．
化简得7k²+4k-11=0．
解得k=1或k=-

11

7

∵-2＜k＜-

3

，∴k=-

11

7

，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．

点评：本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力．