Question

如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2：1，CG：GD=3：1，过E、F、G的平面交AD于点H．
（1）求AH：HD；
（2）求证：EH、FG、BD三线共点．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明EF∥平面ACD，可得EF∥GH．而EF∥AC，可得AC∥GH，即可求AH：HD；
（2）证明四边形EFGH为梯形，EH∩FG=P，证明P∈BD，即可证明EH、FG、BD三线共点．

解答： （1）解：∵AE：EB=CF：FB=2：1，∴EF∥AC．
∴EF∥平面ACD．
而EF?平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，
∴EF∥GH．而EF∥AC，
∴AC∥GH．
∴AH：HD=CG：GD=3，即AH：HD=3：1．
（2）证明∵EF∥GH，且EF：AC=1：3，GH：AC=1：4，
∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．
令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH?平面ABD，
P∈FG，FG?平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴P∈BD．∴EH、FG、BD三线共点．

点评：本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查三线共点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．