Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点A（x₀，y₀）任意做两条倾斜角互补的直线交椭圆于B、C两点，求直线BC的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），然后根据点A、B、C在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，列出方程，分别表示出直线BC、AB、AC的斜率，然后根据k_AB=-k_AC，找出等量关系，进而求出直线BC的斜率即可．

解答： 解：设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则

x12 a2 + y12 b2 =1 x22 a2 + y22 b2 =1

，
可得

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0；
所以直线BC的斜率k_BC=-

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

…①，
则直线AB的斜率k_AB=-

b2(x0+x1)

a2(y0+y1)

，
直线AC的斜率k_AC=-

b2(x0+x2)

a2(y0+y2)

，
根据题意，可得k_AB=-k_AC，
即-

b2(x0+x1)

a2(y0+y1)

=

b2(x0+x2)

a2(y0+y2)

，

整理，可得

x1+x2

y1+y2

=-

x0

y0

…②，
②代入①，可得k_BC=（-

b2

a2

）•（-

x0

y0

）=

b2x0

a2y0

．

点评：本题主要考查了椭圆的性质的运用，考查了直线的斜率的求法，属于中档题．