Question

若函数f（x）=4sinωx•sin²（

π

4

+

ωx

2

）+cos2ωx（ω＞0）在[-

π

2

，

2π

3

]上是增函数，则ω的取值范围是（　　）

• A、（0，1]
• B、（0，

  3

  4

  ]
• C、[1，+∞）
• D、[

  3

  4

  ，+∞）

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：将函数化简，根据复合函数的性质求出单调区间，与已知区间比较即可．

解答： 解：∵f（x）=4sinωx•sin²（

π

4

+

ωπ

2

）+cos2ωx=4sinωx•

1-cos( π 2 +ωx)

2

+cos2ωx
=2sinωx（1+sinωx）+cos2ωx=2sinωx+1，
∴[-

π

2ω

，

π

2ω

]是函数含原点的递增区间．
又∵函数在[-

π

2

，

2π

3

]上递增，∴[-

π

2ω

，

π

2ω

]?[-

π

2

，

2π

3

]，∴得不等式组

- π 2ω ≤- π 2 2π 3 ≤ π 2ω

得

ω≤1 ω≤ 3 4

，又∵ω＞0，0＜ω≤

3

4

，
ω的取值范围是（0，

3

4

]．
故选：B

点评：本题考查复合函数单调区间，属于中档题．