Question

17．关于x的方程（$\frac{3}{5}$）^x=$\frac{3a+2}{5-a}$有负根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=（$\frac{3}{5}$）^x，求出当x＜0时，函数f（x）的取值范围，解不等式即可得到结论．

解答 解设f（x）=（$\frac{3}{5}$）^x，当x＜0时，f（x）=（$\frac{3}{5}$）^x＞1，
若方程（$\frac{3}{5}$）^x=$\frac{3a+2}{5-a}$有负根，
则$\frac{3a+2}{5-a}$＞1，即$\frac{3a+2}{5-a}$-1=$\frac{3a+2-5+a}{5-a}$=$\frac{4a-3}{5-a}$＞0，
即（4a-3）（a-5）＜0，
得$\frac{3}{4}$＜a＜5，
即实数a的取值范围是$\frac{3}{4}$＜a＜5．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据指数函数的性质求出函数的取值范围，结合一元二次不等式的解法是解决本题的关键．