Question

9．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{b}$，设P为BC边上任意一点，若$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$，则λμ的最大值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． 6

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AP}$，根据三点共线原理得出λ，μ的关系，使用基本不等式得出得出λμ的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{μ}{3}\overrightarrow{AC}$．∵P为BC边上任意一点，∴$\frac{λ}{2}$+$\frac{μ}{3}$=1，
∴1≥2$\sqrt{\frac{λμ}{6}}$，∴λμ≤$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，共线原理，基本不等式，属于中档题．