Question

16．如图，有一块边长为15cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）求出盒子的容积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
（2）如果要做成一个容积是150cm³的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x应是多少（精确到0.1cm）？

Answer 1

分析 （1）利用柱体的体积计算公式求出盒子的体积y关于x的函数关系式和x的取值范围；
（2）由题意可得x（15-2x）²=150，（0＜x＜$\frac{15}{2}$）．令f（x）=4x³-60x²+225x，可得f′（x）=12x²-120x+225=（6x-15）（2x-15），利用导数研究其单调性极值与最值，再利用二分法求出其零点即可．

解答 解：（1）∵截去的小正方形的边长为xcm，
∴折成的无盖盒子底面是边长为（15-2x）cm的正方形，高是xcm．
∴盒子的体积y=x（15-2x）²，（0＜x＜$\frac{15}{2}$）．
（2）x（15-2x）²=150，（0＜x＜$\frac{15}{2}$）．
令f（x）=4x³-60x²+225x，
f′（x）=12x²-120x+225=（6x-15）（2x-15），
由f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{5}{2}$，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得$\frac{5}{2}＜x＜\frac{15}{2}$，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=$\frac{5}{2}$时，函数f（x）取得最大值：$f（\frac{5}{2}）$=$4×（\frac{5}{2}）^{3}$-$60×（\frac{5}{2}）^{2}$+225×$\frac{5}{2}$=250．
由f（0）=0，f（1）=169，利用二分法可得：$f（\frac{1}{2}）$=98，$f（\frac{3}{4}）$≈137，$f（\frac{7}{8}）$≈143.5，$f（\frac{15}{16}）$≈161.5，$f（\frac{29}{32}）$≈157，$f（\frac{57}{64}）$≈155.6，$f（\frac{113}{128}）$≈154.62，$f（\frac{225}{256}）$≈
154.1，$f（\frac{449}{512}）$≈153.87，$f（\frac{897}{1024}）$≈153.7，$f（\frac{1793}{2048}）$≈153.6，$f（\frac{3585}{4096}）$≈153.6，$f（\frac{7169}{8192}）$≈153.6，
取零点$\frac{7169}{8192}$≈0.9．
又$f（\frac{15}{2}）$=0，
因此函数f（x）只有一个零点约为0.9．

点评 本题考查了将实际问题转化为数学问题的能力\利用导数研究函数性质、求函数在开区间上的最值的方法、二分法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．