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设函数f(x)=x2+ax+b(a、b为实常数),已知不等式|f(x)|≤|x2+x-2|对一切x∈R恒成立;定义数列{an}满足:a1=2,an=f(
an-1
)+3(x≥ 2)

(1)求a、b的值;
(2)求证:
(n+1)2
4
an≤5•(
3
2
)
n-1
-3
  (n∈N*).
分析:(1)由|f(x)|≤|x2+x-2|=|(x+2)(x-1)|知a=1,b=-2,由此可知f(x);
(2)先验证:当n=1时,1=
(1+1)2
4
a1≤5•(
3
2
)
1-1
-3
成立;再考察:当n≥2时利用条件得出:
a n
a n-1
+
1
2
从而an>
(n+1) 2
4
(n≥2)
最后结合放缩法即可证得结论.
解答:解:(1)由|f(x)|≤|(x+2)(x-1)|得f(-2)=0,f(1)=0,
故a=1,b=-2,∴f(x)=x2+x-2;
(2)当n=1时,1=
(1+1)2
4
a1≤5•(
3
2
)
1-1
-3
成立
当n≥2时,an=f(
an-1
)+3=an-1+
an-1
+1

∴an=(
a n-1
+
1
2
2+
3
4
>=(
a n-1
+
1
2
2
a n
a n-1
+
1
2

∴当n≥2时,
a n
=(
a n
-
a n-1
)
+(
a n-1
-
a n-2
)
+…+(
a 2
-
a 1
)
+
a 1

n-1
2
+
2
n+1
2

an>
(n+1) 2
4
(n≥2)

又an=a n-1+
a n-1
+1<a n-1+1+
a n-1+1
2

=
3
2
+
3
2
an-1,(n≥2)
从而an+3<
3
2
(a n-1+3)
∴当n≥2时,
an+3<(
3
2
2(a n-2+3)<…<(
3
2
n-1(a1+3)=5(
3
2
n-1
∴an≤5(
3
2
n-1-3
所以n∈N*时,
(n+1)2
4
an≤5•(
3
2
)
n-1
-3
点评:本题考查数列的综合运用,难度较大,解题时要认真审题,仔细解答.
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1x+1
).
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(2)若f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围;
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n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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