Question

11．已知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦点在x轴上的椭圆．
命题q：实数m满足m²-4am+3a²＜0，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1且p∧q为真命题时，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出命题p，q成立的等价条件进行求解即可．
（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义进行不等式关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{2-m＞0}\\{m+1＞2-m}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{m＜2}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}$＜m＜2，
若a=1，由m²-4m+3＜0得1＜m＜3，
若p∧q为真命题时，则p，q同时为真，则1＜m＜2．
（Ⅱ）由m²-4am+3a²＜0，（a＞0）．
得（m-a）（m-3a）＜0，得a＜m＜3a，即q：a＜m＜3a，￢q：x≥3a或0＜x≤a，
∵p是￢q的充分不必要条件，
∴3a≤$\frac{1}{2}$或a≥2，
即a≤$\frac{1}{6}$或a≥2，
∵a＞0，
∴0＜a≤$\frac{1}{6}$或a≥2
即实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{6}$]∪[2，+∞）

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题的应用，比较基础．