Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的极值点的个数；

（2）若有3个极值点，，（其中），证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求得，易得是的一个极值点，则的极值点个数，取决于的根的个数，转化为，用导数法讨论即可.

（2）根据有3个极值点，，（其中），则有，且，要证，即证，由，得到，设，，，联立得到，即证，，再转化为证明即可.

（1），易得是的一个极值点，令，转化为，

令，，

故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且当时，.

所以当时，有2个极值点，

当时，只有1个极值点，

当时，有3个极值点.

（2）证明：因为有3个极值点，，（其中），所以，且，即得，

要证，即，

由，得，

设，，，所以，

联立得所以，

所以要证，只需，，

则有，即，则需证明.

令，，即需证明.

因为恒成立，

所以在上是单调递减函数，则有，

即成立，所以，

即.