Question

已知函数f（x）=-ax+e^x，x∈R
（1）若a=e，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对于任意x＞0不等式f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（3）构造函数F（x）=f（x）+f（-x）（x＞0），求证：F（1）F（2）…F（2014）＞（e²⁰¹⁵+2）¹⁰⁰⁷．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；
（2）f′（x）=e^x-a，由f′（x）=0，得到x=lna．再对k进行分类讨论，得到f（x）在[0，+∞）上的最小值，让最小值大于0解出a即可；
（3））由F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，得F（x₁ ）F（x₂ ）=ex1+x2+e-(x1+x2)+ex1-x2+e-x1+x2＞ex1+x2+2，因此，[F（1）F（2）…F（2014）]²=[F（1）F（2014）][F（2）F（2013）]…[F（2014）F（1）]＞（e²⁰¹⁵+2）²⁰¹⁴，故F（1）F（2）…F（2014）＞（e²⁰¹⁵+2）¹⁰⁰⁷．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-e，令f′（x）=0，解得x=1
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）单调递增；
当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，1）单调递减．
f（x）的单调递增区间是（1，+∞），f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．   
（2）f′（x）=e^x-a，令f′（x）=0，解得x=lna．                     
①当a∈（0，1]时，f′（x）=e^x-a＞1-a≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．                        
②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．当x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lna）=a-alna．              
依题意，a-alna＞0，又a＞1，1＜a＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜a＜e．                    
（3）∵F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，
∴对于?x₁，x₂∈R，都有：
F（x₁ ）F（x₂ ）=ex1+x2+e-(x1+x2)+ex1-x2+e-x1+x2
≥ex1+x2+e-(x1+x2)+2

ex1-x2•e-x1+x2

＞ex1+x2+2，
∴F（1）F（2014）＞e²⁰¹⁵+2，F（2）F（2013）＞e²⁰¹⁵+2，F（2014）F（1）＞e²⁰¹⁵+2，
因此，[F（1）F（2）…F（2014）]²=[F（1）F（2014）][F（2）F（2013）]…[F（2014）F（1）]＞（e²⁰¹⁵+2）²⁰¹⁴，
故F（1）F（2）…F（2014）＞（e²⁰¹⁵+2）¹⁰⁰⁷．

点评：本题考查导数在研究函数的单调性、最值和中的应用，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力．