Question

13．已知f（x）=acos²x-bsinxcosx-$\frac{a}{2}$的最大值是$\frac{1}{2}$，且f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，则f（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$或0．

Answer 1

分析 化简函数的解析式为f（x）=$\frac{a}{2}$cos2x-$\frac{b}{2}$sin2x，由它的最大值为$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，可得 a²+b²=1；根据f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求得 a=-$\sqrt{3}$（b+1），从而求得a、b的值，可得函数的解析式，从而求得f（-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：由于f（x）=acos²x-bsinxcosx-$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$cos2x-$\frac{b}{2}$sin2x，∴它的最大值为$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴a²+b²=1．
根据f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得-$\frac{1}{4}$a-$\frac{\sqrt{3}}{4}$b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求得 a=-$\sqrt{3}$（b+1）．
故有 $\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，∴f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，或f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x+$\frac{1}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∴f（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，或f（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=0，
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{4}$或0．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，属于中档题．