Question

【题目】设函数，已知曲线在点处的切线与直线平行

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由。

（Ⅲ）设函数（表示中的较小者），求的最大值。

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 时，方程在内存在唯一的根.证明见解析.

(3) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得；（Ⅱ）求出的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得的解析式，通过的最大值，即可得到所求．

试题解析：（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，

又所以．

（Ⅱ）时，方程在内存在唯一的根．

设

当时， ．

又

所以存在，使．

因为所以当时， ，当时， ，

所以当时， 单调递增．

所以时，方程在内存在唯一的根．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在内存在唯一的根，且时， ， 时， ，所以．

当时，若

若由可知故

当时，由可得时， 单调递增； 时， 单调递减；

可知且．

综上可得函数的最大值为．