Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求f（x）最小值；
（2）已知：0≤x₁＜x₂，求证：；
（3）f（x）图象上三点A、B、C，它们对应横坐标为x₁，x₂，x₃，且x₁，x₂，x₃为公差为1 等差数列，且均大于0，比较|AB|和|BC|长大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数f（x）的导数，根据导数的符号判断函数的单调区间，再由单调性求出函数的最小值．
（2）由（1）可得：f（x）≥1，故有 e^x＞1+ln（x+1）（x＞0）．根据 （x₂-x₁+1）＞ 可得＞，故只需比较x₂-x₁+1与大小．再根据x₁＞0，可得 ，故结论成立．
（3）先求出|AB|²和|BC|²的解析式，比较|AB|和|BC|大小，只需比较y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．作差并利用基本不等式可得y₂-y₁＜y₃-y₂，从而|AB|＜|BC|成立．
解答：解：（1），x＞0时f′（x）＞0，-1＜x＜0时f′（x）＜0，
故f（x）在x=0时，f（x）取最小值为f（0）=1．（4分）
（2）由（1）可得：f（x）≥1，故：e^x＞1+ln（x+1）（x＞0）．∵（x₂-x₁+1）-=＞0，故 （x₂-x₁+1）＞．
故 ＞，
只需比较x₂-x₁+1与大小．
∵x₁＞0，∴，故结论成立．  （9分）
（3）∵，，
又∵f（x）在x＞0为增函数，∴y₂＞y₁，y₃＞y₂．
∴比较|AB|和|BC|大小，只需比较y₂-y₁和y₃-y₂大小即可．

=．
∵，故
∴y₂-y₁＜y₃-y₂，∴|AB|＜|BC|．（14分）
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，用放缩法证明不等式，以及利用导数求函数在闭区间上的最值，体现了化归与转化的数学思想方法，属于难题．