Question

18、如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE=BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求证：AE∥平面BFD．

Answer 1

分析：（1）由平面ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB，得到AD⊥平面ABE，从而得出AD⊥AE，由线面垂直的判定得AE⊥平面BCE，从而证得AE⊥BE，（2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，由中位线定理得FG∥AE，由线面平行的判定证得AE∥平面BFD．

解答：解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE．
∵AD∥BC，则BC⊥AE．（3分）
又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE．
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．（7分）

（2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE．
而BC=BE，∴F是EC中点．（10分）
在△ACE中，FG∥AE，
∵AE?平面BFD，FG?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．（14分）

点评：本题通过线线平行和线面平行，线线垂直和线面垂直及面面垂直的转化，来考查线面、面面平行和垂直的判定定理．