已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
(1)(2)连结AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,∴BD⊥PC又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置,都有AE?平面PAC∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE(3)
解析试题分析:(1)由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2. 1分
∴,即四棱锥P-ABCD的体积为. 3分
(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE. 4分
证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC. 5分
∵PC⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,∴BD⊥PC. 6分
又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC. 7分
∵不论点E在何位置,都有AE?平面PAC.
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE. 8分
(3)解法1:在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F,连结BF.
∵AD=AB=1,DE=BE==,AE=AE=,
∴Rt△ADE≌Rt△ABE,
从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角. 10分
在Rt△ADE中,DF===, ∴BF=. 11分
又BD=,在△DFB中,由余弦定理得
cos∠DFB=, 12分
∴∠DFB=,
即二面角D-AE-B的大小为. 13分
解法2:如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1), 9分
从而=(0,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0),=(0,-1,1).
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
,
由,取
由,取 11分
设二面角D-AE-B的平面角为θ,
则, 12分
∴θ=,即二面角D-AE-B的大小为 . 13分
考点:三视图,空间线面垂直及线线角
点评:本题先由三视图得到几何体的特征,把握住CD,CB,CP两两垂直,因此可借助于空间向量法判定线面的垂直关系与求解二面角
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.
(I)在平面ABC内,试做出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(II)设(I)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,四边形ABCD是矩形,,F为CE上的点,且BF平面ACE,AC与BD交于点G
(1)求证:AE平面BCE
(2)求证:AE//平面BFD
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,空间四边形的对棱、成的角,且,平行于与的截面分别交、、、于、、、.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)在的何处时截面的面积最大?最大面积是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知棱柱的底面是菱形,且面,,,为棱的中点,为线段的中点,
(Ⅰ)求证: 面;
(Ⅱ)判断直线与平面的位置关系,并证明你的结论;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在正三角形中,、、分别是、、边上的点,满足(如图1).将△沿折起到的位置,使二面角成直二面角,连结、(如图2)
(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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