Question

某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。

（1）求曲线的标准方程；（6分）
（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？（8分）

Answer 1

（1） ；（2）点的坐标为或。

试题分析：（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆         3分
又，则，故                     5分
所以曲线的方程是                           6分
（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，
因此设此时距、两岛的距离分别比为             7分
即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。       8分
设，，由 ，    10分
，                                     12分 
                                     13分
点的坐标为或                 14分
点评：中档题，利用椭圆的定义，明确曲线是椭圆并求得其标准方程为，作为实际问题解决，很好的体现了数学的妙用。