Question

（本小题满分12分）
如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点，使环城公路在A、B间为直线段，要求AB路段与市中心O的距离为10 km，且使A、B间的距离|AB|最小．请你确定A、B两点的最佳位置．

Answer 1

如图，令|OA|＝a，|OB|＝b，则在△AOB中，∠AOB＝120°. …………2分
∴|OC||AB|＝absin120°.
∴|AB|＝.　　　① …………………………………………………………4分
又由余弦定理，
|②     …………………6分
由①②知≥3ab.                               
∵ab＞0，∴ab≥400　　　③   ……………………………………………8分
③代入①得|AB|＝≥20．
当a＝b时|AB|取得最小值．…………………………………………………10分
而a＝b时，△AOB为等腰三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°.
∴a＝b＝20.
∴A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20km处.  ………………………12分

解析