Question

17．已知A（1，3），B（5，-2），P为直线y=x上的点，如果|AP|-|BP|的绝对值最大，则P点的坐标为$（\frac{11}{5}，\frac{11}{5}）$．

Answer 1

分析 如图所示，设A′（a，b）为点A关于直线y=x的对称点，利用$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{a-1}=-1}\\{\frac{a+1}{2}=\frac{b+3}{2}}\end{array}\right.$，解得A′（3，1），连接BA′并延长交直线y=x于点P，则点P满足|AP|-|BP|的绝对值最大．下面先求出点P．直线BA′的方程为：$y-1=\frac{-2-1}{5-3}（x-3）$，与y=x联立解得P$（\frac{11}{5}，\frac{11}{5}）$．在直线y=x上任取一点P′，连接A′P′，P′B，P′A．利用||P′B|-|P′A′||≤|A′B|，即可证明．

解答 解：如图所示，
设A′（a，b）为点A关于直线y=x的对称点，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-3}{a-1}=-1}\\{\frac{a+1}{2}=\frac{b+3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴A′（3，1），
连接BA′并延长交直线y=x于点P，则点P满足|AP|-|BP|的绝对值最大．
下面先求出点P．
直线BA′的方程为：$y-1=\frac{-2-1}{5-3}（x-3）$，化为3x+2y-11=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{3x+2y-11=0}\end{array}\right.$，解得x=y=$\frac{11}{5}$，
∴P$（\frac{11}{5}，\frac{11}{5}）$．
在直线y=x上任取一点P′，连接A′P′，P′B，P′A．
则|P′A|=|P′A′|，
则||P′B|-|P′A′||≤|A′B|，
∴点P满足|AP|-|BP|的绝对值最大．
故答案为：P$（\frac{11}{5}，\frac{11}{5}）$．

点评 本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．