Question

【题目】如图，在四棱锥中， 平面，为直角，，，分别为的中点．

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）若，求二面角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与证明，往往从两个方面进行，一是从平几知识，如矩形得ABBF，二是从立几知识，如从面面垂直出发，得线面垂直，再得线线垂直（Ⅱ）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出面的法向量，再根据空间向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与二面角之间关系求二面角

试题解析：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAB为直角，故ABFD是矩形，

从而ABBF．

又PA底面ABCD, ∴平面PAD平面ABCD，

∵ABAD，故AB平面PAD,∴ABPD，

在ΔPCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF//PD， ∴ ABEF．

由此得平面．

（Ⅱ）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴,y轴,z轴正向建立空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则 可取

设二面角EBDC的大小为，则

=，

所以，