Question

3．设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是非零向量，且$\overrightarrow{a}$≠±$\overrightarrow{b}$．则“|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|”是“（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）”的（　　）

• A． 充分而不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：若“（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）”，则“（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=0，即“|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{b}$|²”，即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，
反之当|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，则（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{b}$|²=0，即（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$），
故“|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|”是“（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）”的充要条件，
故选：C

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量垂直与向量数量积的关系是解决本题的关键．