Question

12．已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a²+b²+c²=1，则a的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由已知条件a+b+c=0，a²+b²+c²=1，变形后，得到bc与b+c的值，利用完全平方式将变形后的式子代入推出b、c是二次方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围．

解答 解：∵a+b+c=0，a²+b²+c²=1，
∴b+c=-a，b²+c²=1-a²，
∴bc=$\frac{1}{2}$•（2bc）
=$\frac{1}{2}$[（b+c）²-（b²+c²）]
=a²-$\frac{1}{2}$
∴b、c是方程：x²+ax+a²-$\frac{1}{2}$=0的两个实数根，
∴△≥0
∴a²-4（a²-$\frac{1}{2}$）≥0
即a²≤$\frac{2}{3}$
∴-$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$
即a的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$
故选：B．

点评 本题考查了函数最值问题，函数与方程的综合应用，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围．