Question

7．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）=e^x，则$\frac{{2}^{n}g（1）g（2）g（{2}^{2}）…g（{2}^{n-1}）}{f（{2}^{n}）}$=$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 先求出函数的解析式，再代入计算，即可得出结论．

解答 解：由题意，-f（x）+g（x）=e^-x，
与条件联立可得，f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），
∴$\frac{{2}^{n}g（1）g（2）g（{2}^{2}）…g（{2}^{n-1}）}{f（{2}^{n}）}$=$\frac{（e+{e}^{-1}）（{e}^{2}+{e}^{-2}）…（{e}^{{2}^{n-1}}+{e}^{-{2}^{n-1}}）}{\frac{1}{2}（{e}^{{2}^{n}}-{e}^{-{2}^{n}}）}$=$\frac{2}{e+{e}^{-1}}$=$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$．
故答案为：$\frac{2e}{{e}^{2}+1}$．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查函数解析式的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．