Question

16．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F分别是上底面A₁B₁C₁D₁和侧面CDD₁C₁的中心，若$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{AE}$，则x+y+z=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 构造辅助线，分别表示出$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{AF}$，两式相减消去$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，即可求得$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，即可求得x+y+z的值．

解答 解：如图，由题意可知：连接AC，BC交点为O，则点E在平面ABCD内的射影为O，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，①
点F在平面ABCD内的射影为M，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，②
②-①×$\frac{1}{2}$得：$\overrightarrow{AF}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
∴x+y+z=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查空间向量的线性表示，考查逻辑推理能力与空间想象能力，考查转换思想和数形结合，属于中档题．