Question

【题目】设集合由满足下列两个条件的数列构成:①②存在实数使得对任意正整数都成立.

(1)现在给出只有5项的有限数列试判断数列是否为集合的元素；

(2)设数列的前项和为且若对任意正整数点均在直线上，证明:数列并写出实数的取值范围；

(3)设数列若数列没有最大值，求证:数列一定是单调递增数列。

Answer 1

【答案】（1）不是；（2），；（3）证明略

【解析】

（1）由于，可知数列不满足条件①．（2）由于点，在直线

上，可得，利用递推关系可得：，利用等比数列的前项和公式可得：，验证，可知：条件①成立．由于，即可得出条件②及其，的范围．（3）利用反证法证明.

（1）解：，因此数列不满足条件①，数列．

（2）证明：点，在直线上，，

当时，，可得：，化为，

n=1时，易知，显然

数列是等比数列，首项为1，公比为．，

则，

．条件①成立．

由于，，．

（3）证明：（反证法）若数列非单调递增，则一定存在正整数，使成立，

当时，由，得，

而，所以．

显然在， ，，这项中一定存在一个最大值，不妨记为，

所以为，这与数列没有最大值相矛盾．

所以假设不成立，故命题得证．