Question

【题目】已知函数，其中，且，且.

（1）若，试判断的奇偶性；

（2）若，，，证明的图像是轴对称图形，并求出对称轴.

Answer 1

【答案】(1)见解析（2）函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．

【解析】

（1）由得出，于是得出，利用偶函数的定义得出，利用奇函数的定义得出，于是得出当时，函数为非奇非偶函数；

（2）先得出，并设函数图象的对称轴为直线，利用定义，列等式求出的值，即可而出函数图象的对称轴方程.

（1）由已知，，于是，则，

若是偶函数，则，即，

所以对任意实数恒成立，所以．

若是奇函数，则，即，

所以对任意实数恒成立，所以．

综上，当时，是偶函数；

当时，奇函数，当，既不是奇函数也不是偶函数；

（2），若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，即对任意实数，恒成立，

，化简得，

因为上式对任意成立，所以，，．

所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．