【题目】已知函数,其中
,
且
,
且
.
(1)若,试判断
的奇偶性;
(2)若,
,
,证明
的图像是轴对称图形,并求出对称轴.
【答案】(1)见解析(2)函数的图像是轴对称图形,其对称轴是直线
.
【解析】
(1)由得出
,于是得出
,利用偶函数的定义得出
,利用奇函数的定义得出
,于是得出当
时,函数
为非奇非偶函数;
(2)先得出,并设函数
图象的对称轴为直线
,利用定义
,列等式求出
的值,即可而出函数
图象的对称轴方程.
(1)由已知,,于是
,则
,
若是偶函数,则
,即
,
所以对任意实数
恒成立,所以
.
若是奇函数,则
,即
,
所以对任意实数
恒成立,所以
.
综上,当时,
是偶函数;
当时,
奇函数,当
,
既不是奇函数也不是偶函数;
(2),若函数
的图像是轴对称图形,且对称轴是直线
,即对任意实数
,
恒成立,
,化简得
,
因为上式对任意成立,所以
,
,
.
所以,函数的图像是轴对称图形,其对称轴是直线
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目,是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关,对某校的100名大学生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢《最强大脑》 | 不喜欢《最强大脑》 | 合计 | |
男生 | 15 | ||
女生 | 15 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4
(I)请将上述列联表补充完整;判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关,并说明理由;
(II)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生,其中3名喜欢《最强大脑》,现从这5名大一学生中随机抽取2人,抽到喜欢《最强大脑》的人数为X,求X的分布列及数学期望.
参考公式:,
参考数据:,
,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可吸入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.
某试点城市环保局从该市市区2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)
(1)求中位数.
(2)从这15天的数据中任取两天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列及数学期望.
(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设集合由满足下列两个条件的数列
构成:①
②存在实数
使得
对任意正整数
都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列试判断数列
是否为集合
的元素;
(2)设数列的前项和为
且
若对任意正整数
点
均在直线
上,证明:数列
并写出实数
的取值范围;
(3)设数列若数列
没有最大值,求证:数列
一定是单调递增数列。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列和
的项数均为
,则将两个数列的偏差距离定义为
,其中
.
(1)求数列1,2,7,8和数列2,3,5,6的偏差距离;
(2)设为满足递推关系
的所有数列
的集合,
和
为
中的两个元素,且项数均为
,若
,
,
和
的偏差距离小于2020,求
最大值;
(3)记是所有7项数列
或
的集合,
,且
中任何两个元素的偏差距离大于或等于3,证明:
中的元素个数小于或等于16.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】曲线的右焦点分别为
,短袖长为
,点
在曲线
上,
直线
上,且
.
(1)求曲线的标准方程;
(2)试通过计算判断直线与曲线
公共点的个数.
(3)若点在都在以线段
为直径的圆上,且
,试求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】实数a,b满足ab>0且a≠b,由a、b、、
按一定顺序构成的数列( )
A. 可能是等差数列,也可能是等比数列
B. 可能是等差数列,但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列,但可能是等比数列
D. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,空间几何体由两部分构成,上部是一个底面半径为1,高为2的圆锥,下部是一个底面半径为1,高为2的圆柱,圆锥和圆柱的轴在同一直线上,圆锥的下底面与圆柱的上底面重合,点是圆锥的顶点,
是圆柱下底面的一条直径,
、
是圆柱的两条母线,
是弧
的中点.
(1)求异面直线与
所成的角的大小;
(2)求点到平面
的距离.
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