Question

【题目】曲线的右焦点分别为，短袖长为，点在曲线上，直线上，且.

（1）求曲线的标准方程；

（2）试通过计算判断直线与曲线公共点的个数.

（3）若点在都在以线段为直径的圆上，且，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）只有一个公共点（3）

【解析】

（1）根据椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）由，根据向量的数量积公式可得的纵坐标，取得直线的直线方程，

即可作出判定，得到答案；

（3）由得到，进而得打不等式，即可求解．

（1）由曲线的右焦点分别为，短袖长为，所以，解得，所以曲线的标准方程为：

（2）由在，

可得，解得，所以，

设，则

又由，则，

即，解得，所以，

所以

若，则，

由，解得，

知道直线与曲线相切，只有一个公共点；

若，同理可知直线与曲线相切，只有一个公共点；

（3）因为，

即，所以

所以，

又，所以．