Question

已知f（x）是二次函数，f'（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f'（x）=f（x+1）+x²恒成立，求f（x）的解析表达式．

Answer 1

分析：设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），求导可得f'（x）=2ax+b，代入f'（x）=f（x+1）+x²恒成立可得a，b，c之间的关系，可求

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），
则f'（x）=2ax+b，
∵f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴

a+1=0 2a+b=2a a+b+c=b

，解之，得a=-1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，函数导数的求解，属于基础试题