Question

3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosB．
（1）求角B．
（2）若$b=\sqrt{13}$，△ABC的周长为$\sqrt{13}+7$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，再由正弦加法定理、诱导公式得sinA=2sinAcosB，从而cosB=$\frac{1}{2}$，由此能求出角B．
（2）求出a+c=7，再由余弦定理得ac=12，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
且bcosC+ccosB=2acosB．
∴由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$b=\sqrt{13}$，△ABC的周长为$\sqrt{13}+7$，∴a+c=7，
由余弦定理得：13=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
（a+c）²=a²+c²+2ac=a²+c²-ac+3ac=13+3ac=49，
解得ac=12，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×12×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查角的大小、三角形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、诱导公式、正弦加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．