Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}kx+2，x≤0\\ lnx，x＞0\end{array}$，若关于x的方程|f（x）|-e^-x-2=0有3个不同的根，则非正实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． {-e}
• C． （-∞，-e]
• D． （-e，0]

Answer 1

分析 利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由|f（x）|-e^-x-2=0得|f（x）|=e^-x+2，
设g（x）=e^-x+2，
作出函数g（x）和f（x）的图象如图：
当x＞0时，|f（x）|=e^-x+2有两个不同的根，
要使x的方程|f（x）|-e^-x-2=0有3个不同的根，
则等价为当x≤0时，方程，|f（x）|=e^-x+2有1个根，
∵k≤0，
∴由kx+2=0得x=-$\frac{2}{k}$＞0，
即当x≤0时，y=kx+2与g（x）=e^-x+2相切即可，
设切点为（a，e^-a+2），则函数的导数g′（x）=-e^-x，
则切线斜率k=-e^-a，
则切线方程为y-（e^-a+2）=-e^-a（x-a），
即y=（e^-a+2）-e^-a（x-a），即y=-e^-ax+（a+1）e^-a+2，
∵y=kx+2，
∴k=-e^-a，（a+1）e^-a+2=2，
得（a+1）e^-a=0，则a=-1，k=-e，
非正实数k的取值范围是{-e}，
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．