Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+1）x²+bx+c的导函数为f′（x），在区间（-2，0）内任取两个实数a，b，则f′（1）•f′（-1）＜0的概率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用f′（1）•f′（-1）＜0，求出a，b满足的条件，作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a+1）x²+bx+c，
∴f′（x）=x²+（a+1）x+b，
∵f′（1）•f′（-1）＜0，
∴（a+b+2）（b-a）＜0，
在区间（-2，0）内任取两个实数a，b，
不等式组对应的平面区域如图：
∴则f′（1）•f′（-1）＜0的概率为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率公式的概率的计算，根据函数的导数公式求出f′（1）•f′（-1）＜0的等价条件是解决本题的关键．