Question

13．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），定点A（0，-$\sqrt{3}$），F₁，F₂是圆锥曲线C的左、右焦点，直线l过点A，F₁．
（1）求圆锥曲线C及直线l的普通方程；
（2）设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．

Answer 1

分析 （1）圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程．可得椭圆的左焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0），又直线l还经过点$（0，-\sqrt{3}）$，可得直线l的截距式方程．
（2）直线l的方程与椭圆方程联立化为$5{x}^{2}+8\sqrt{3}x$+8=0，利用|EF|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
可得椭圆的左焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0），
又直线l还经过点$（0，-\sqrt{3}）$，
可得直线ld的方程为：$\frac{x}{-\sqrt{3}}$+$\frac{y}{-\sqrt{3}}$=1，即x+y+$\sqrt{3}$=0．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为$5{x}^{2}+8\sqrt{3}x$+8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$．
∴|EF|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×（\frac{64×3}{25}-4×\frac{8}{5}）}$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线截距式、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．