Question

2．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为1-3sin²θ=$\frac{2}{{p}^{2}}$．
（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．曲线C的极坐标方程为1-3sin²θ=$\frac{2}{{p}^{2}}$，即ρ²-3ρ²sin²θ=2，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．
（2）直线方程与双曲线方程联立化为5x²-24x+26=0，利用|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程为y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
∴其斜率为$\sqrt{3}$．
设倾斜角为α，则tanα=$\sqrt{3}$，α∈[0，π）．
∴$α=\frac{π}{3}$．
∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$．
曲线C的极坐标方程为1-3sin²θ=$\frac{2}{{p}^{2}}$，即ρ²-3ρ²sin²θ=2，可得直角坐标方程为：x²-2y²=2．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为5x²-24x+26=0，可得x₁+x₂=$\frac{24}{4}$，x₁x₂=$\frac{26}{5}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=2$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}-4×\frac{26}{5}}$=$\frac{4\sqrt{14}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．