Question

3．设点A是曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）上的动点，点B是直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1-2t}\end{array}\right.$，（t为参数）上的动点
（1）求曲线C与直线l的普通方程；
（2）求A，B两点的最小距离．

Answer 1

分析 （1）由曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1可得普通方程．由直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1-2t}\end{array}\right.$，（t为参数），消去参数t化为普通方程．
（2）设A（2cosθ，sinθ），点A到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{17}sin（θ-φ）+5|}{\sqrt{5}}$（其中tanφ=4），利用三角函数的单调性与值域即可得出最值．

解答 解：（1）由曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
由直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=-1-2t}\end{array}\right.$，（t为参数）化为普通方程：2x-y-5=0．
（2）设A（2cosθ，sinθ），点A到直线l的距离d=$\frac{|4cosθ-sinθ-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{17}sin（θ-φ）+5|}{\sqrt{5}}$
（其中tanφ=4），当sin（θ-φ）=-1时，
d取得最小值$\frac{5-\sqrt{17}}{\sqrt{5}}$=$\frac{5\sqrt{5}-\sqrt{85}}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与椭圆相交弦长公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．