Question

5．已知函数f（x）=alnx-x+2，其中a≠0．若对于任意的x₁∈[1，e]，总存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=4，则实数a=e+1．

Answer 1

分析 通过讨论a的范围，结合函数的单调性找到函数的最值，从而求出a的值．

解答 解：用f（x）_max，f（x）_min分别表示函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，
当a≤1且a≠0时，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是减函数，
所以 f（x）_max=f（1）=1；
因为 对任意的x₁∈[1，e]，x₂∈[1，e]，f（x₁）+f（x₂）≤2f（1）=2＜4，
所以对任意的x₁∈[1，e]，不存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=4；
当1＜a＜e时，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f（x）是减函数，
所以 f（x）_max=f（a）=alna-a+2；
因为 对x₁=1，?x₂∈[1，e]，f（1）+f（x₂）≤f（1）+f（a）=1+alna-a+2=a（lna-1）+3＜3，
所以 对x₁=1∈[1，e]，不存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=4；
当a≥e时，令g（x）=4-f（x）（x∈[1，e]），
由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，
所以 f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（e）=a-e+2，
g（x）_max=g（1）=4-f（1），g（x）_min=g（e）=4-f（e）；
因为 对任意的x₁∈[1，e]，总存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）=4，即f（x₁）=g（x₂），
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥g（e）}\\{f（e）≤g（1）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{f（1）+f（e）≥4}\\{f（e）+f（1）≤4}\end{array}\right.$，
所以 f（1）+f（e）=a-e+3=4，解得a=e+1，
综上所述，实数a的值为e+1．
故答案为：e+1．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．